Рассмотрены модели нелинейных процессов, которые происходят в деформируемых системах. К таким системам относятся гибкие стержни, совершающие нелинейные колебания с умеренными амплитудами, а также тонкостенные пластины и оболочки, в которых наблюдаются геометрические нелинейные явления. Приведены аналитические и численные методы теории колебаний для исследования данных процессов.

Освещены теоретические основы дифференциальной геометрии пространственных кривых и поверхностей. Рассмотрены вектор-функция скалярного аргумента и правила ее дифференцирования, касательная к кривой, а также кривизна кривой и способы ее вычисления. Введен естественный базис в каждой точке кривой, проанализирована его изменяемость в виде формул Френе. Рассмотрены уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, введены первая и вторая дифференциальные формы поверхности, нормальная кривизна в каждой точке поверхности, определены главные кривизны и направления. Раскрыты основные положения теории огибающих семейств кривых и поверхностей. Даны примеры приложения дифференциальной геометрии к механике. Представлены варианты типовых расчетов для индивидуального выполнения.

Рассмотрены вынужденные колебания нелинейной системы с двумя степенями свободы и несколькими положениями равновесия. Такие системы могут быть получены путем дискретизации моделей упругих систем в закритическом состоянии. Проанализированы формы колебаний, которые являются периодическими, если амплитуда внешнего периодического воздействия мала, и становятся хаотическими, если эта амплитуда возрастает. Сформулирована и решена задача устойчивости таких форм колебаний с использованием так называемого "ограниченного критерия устойчивости по Ляпунову" и некоторых вычислительных процедур. Исследована устойчивость форм колебаний нелинейных стержней, оболочек, арок. Взаимная неустойчивость фазовых траекторий используется в качестве критерия появления хаотического поведения в нелинейной системе. Сравнение траекторий с очень близкими начальными условиями проводится на основе предложенного критерия устойчивости. Конкретные вычисления, которые проводятся для уравнения Дуффинга, позволяют наблюдать возникновение и развитие областей хаотического поведения.

Досліджено можливість гасіння вільних пружних коливань за допомогою ферми Мізеса, яка кріпиться до лінійної пружної системи. Для аналізу нелінійних коливань застосовується метод нелінійних нормальних форм. Показано, що локалізована нелінійна нормальна форма відповідає режиму гасіння коливань.

Розглянуто нелінійну систему з двома степенями вільності, що містить осцилятор з відносно великою масою, який є апроксимацією деякої континуальної пружної системи, та осцилятор з відносно малою масою, який є гасителем коливань пружної системи. Аналіз нормальних форм коливань показує, що у достатньо широкому діапазоні зміни параметрів системи існує стала локалізована форма коливань, що забезпечує режим коливань, сприятливий для віброгашення. У цьому режимі руху амплітуди коливань основної пружної системи є малими, у той же час коливання віброгасителя є значними.

Розглянуто процес перекачування енергії у системі з двома степенями свободи, що містить лінійний та суттєво нелінійний осцилятори. Огинаючі кинетичної енергії лінійної та нелінійної підсистем обрано як основні характеристики процесу, шо розглядається. Запропоновано критерій повного перекачування енергії зі збудженого у початковий момент часу лінійного осцилятора у нелінійний, а також додаткову умову неповертання енергії у лінійну підсистему. Оптимальні режими перекачування енергії одержано з використанням стохастичних методів глобальної оптимізації. Оцінено вплив параметрів системи на основні характеристики режимів перекачування енергії.

Розглянуто динаміку нелінійних циліндричних оболонок у межах теорії Доннелла - Муштарі - Власова. Аеродинамічний тиск на оболонку в надзвуковому потоці вибирається відповідно до "поршневої теорії". Визначено форми коливань оболонки в області флатеру; показано, що відбувається перехід від нестійкого граничного циклу до коливань з двома близькими частотами. Виділено нормальні форми коливань лінеаризованої та нелінійної систем. Досліджено нормальні форми коливань оболонки з урахуванням початкових прогинів та без урахування аеродинамічного тиску. Показано, що траєкторії нормальних форм коливань в конфігураційному просторі близькі до прямолінійних, причому стійкою є тільки одна форма коливань, яка визначається початковими прогинами. Розглянуто сумісний вплив надзвукового потоку та початкових прогинів на коливання циліндричної оболонки.

Дано описание нового подхода к анализу вынужденных колебаний механических систем, основанного на методе нелинейных нормальных форм колебаний Шоу - Пьера. Представлен вариант метода, пригодный для анализа колебаний систем с внутренним резонансом. В качестве конкретной модели для анализа взята модель однодискового неуравновешенного ротора на нелинейно-упругих опорах. Приведено сравнение аналитических результатов и результатов численного моделирования.

Предложено эффективное упрощение итерационного метода построения нелинейных нормальных форм колебаний Шоу - Пьера при наличии внутреннего резонанса. Суть упрощения состоит в частичном приведении системы к главным координатам, которое затрагивает только активные координаты, имеющие наибольшие амплитуды. Показано, что такой модифицированный метод может быть с успехом применен в задаче о динамике однодискового ротора на нелинейно-упругих массивных опорах.

Розглянуто вільні затухаючі коливання колісного екіпажу з незалежною підвіскою з урахуванням нелінійних характеристик пружин та амортизаторів підвіски. Досліджено коливання колісного екіпажу з гладкими нелінійними характеристиками підвіски для моделі з 7 степенями свободи. Одержано відповідні скелетні криві і нелінійні нормальні форми коливання. Для моделі з двома степенями свободи (чверть колісного екіпажу), що відповідає симетричним коливанням, знайдено нелінійні нормальні форми у випадку негладкої нелінійної характеристики амортизатора.

Рассмотрены нелинейные нормальные формы колебаний механической системы, содержащей маятниковый гаситель колебаний. Выделены связанная и локализованная формы колебаний. В последнем случае основная энергия колебаний сосредоточена в маятнике, поэтому эта форма колебаний наиболее благоприятна для виброгашения. Изучена устойчивость форм колебаний.

Рассмотрены уравнения движения однодискового ротора с нелинейно-упругими опорами при учете рассеивания энергии в материале вала по гипотезе Фохта. Приведены результаты аналитических расчетов вынужденных колебаний системы и результаты анализа устойчивости соответствующих решений.

Отмечено, что для исследования автоколебаний тонкостенных пластинок, взаимодействующих с потенциальным газовым потоком, используются гиперсингулярные интегральные уравнения относительно аэродинамических производных перепада давления. Геометрически нелинейное деформирование пластинок описываeтся уравнениями фон Кармана. Аэроупругое поведение конструкции сводится к нелинейной динамической системе относительно обобщенных координат колебаний пластинки. Полученная система исследуется численным методом пристрелки в сочетании с алгоритмом продолжения.

Рассмотрены нелинейные нормальные формы колебаний неидеальной системы с маятниковым гасителем колебаний. Выделены связанная и локализованная формы колебаний. В последнем случае основная энергия колебаний сосредоточена в маятнике, поэтому эта форма колебаний наиболее благоприятна для виброгашения упругих колебаний. Изучена устойчивость форм колебаний. Построены амплитудно-частотные характеристики.

Рассмотрены бегущие волны в модели Пейрара - Бишопа, описывающей динамику молекулы ДНК. Устойчивость бегущих волн в этой системе исследуется в рамках длинноволнового приближения с использованием уравнений в вариациях и последующим применением метода алгебраизации по Айнсу. В результате уравнения в вариациях преобразуются к уравнениям с особыми точками. Для построения границ областей устойчивости/неустойчивости в пространстве параметров системы используются степенные ряды. Полученные результаты иллюстрируются численным моделированием с использованием метода Рунге - Кутта.